নবম-দশম শ্রেনীর সাধারণ গনিত প্রথম অধ্যায়। SSC General Math Solution chapter-1.

নবম-দশম শ্রেনীর সাধারণ গনিত প্রথম অধ্যায়। SSC General Math Solution chapter-1.

 আসসালামু আলাইকুম ওয়া রহমাতুল্লাহ 

আজকে আমরা নবম দশম শ্রেনির  গনিত এর প্রথম অধ্যায় এর সমাধান দেখব। অনুশীলনী-১ এর নাম হচ্ছে বাস্তব সংখ্যা। আমরা একটি পোষ্ট এ পুরো অধ্যায় শেষ করব ইনশাআল্লাহ। 

বাস্তব সংখ্যা
[ Real number ]

বাস্তব সংখ্যা অধ্যায় এর গুরুত্বপূর্ন কিছু সংঙ্গা ও সামগ্রিক আলোচন। 

স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) : 1, 2, 3, 4,,,,,, ইত্যাদি সংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা বলে।

মৌলিক সংখ্যা: যে সংখ্যার  এক ও ওই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন গুণনীয়ক নেই তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন: 2, 3, 5, 7,,,,  ইত্যাদি । মৌলিক সংখ্যা ছাড়া বাকি সংখ্যা কে যৌগিক সংখ্যা বলে। যেমন: 4, 6, 8, 9,,,, ইত্যাদি। 

পূর্ণসংখ্যা (Integer) : শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও
ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাসমূহকে পূর্ণসংখ্যা বলা হয়। যেমন: -3, - 2, 1, 0, 1, 2, 3,,,,,,ইত্যাদি


ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number): p,q পরস্পর সহমৌলিক, q≠0 এবং q≠1 হলে, p÷q আকারের সংখ্যাকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলে। যেমন : ১÷২, ৩÷২, -৫÷৩ ইত্যাদি ভগ্নাংশ সংখ্যা। 

p < q হলে ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং p > q হলে ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমনঃ 1÷2, 1÷3, 2÷3, 1÷4, ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং 3÷2, 4÷3, 5÷3, 5÷4, ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

মূলদ সংখ্যা (Rational Number) : p ও q
পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠0 হলে, p÷q আকারের সংখ্যাকে
মূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমনঃ 3÷1 = 3, 11÷2 = 5.5, 5÷3 = 1.666... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা। যে সংখ্যাকে p÷q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p,q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমনঃ √2 = 1.414213,,, √3= 1.732...., √5÷2 = 1.58113.... ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যায় না। 

দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা : মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যাকে দশমিকে প্রকাশ করা হলে একে দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়।যেমনঃ 3 = 3.0, 5÷2 = 2.5, 10÷3 = 3.3333......., √3=1.732 ..... . ইত্যাদি দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা। দশমিক বিন্দুর পর অঙ্ক সংখ্যা সমীম হলে, এদেরকে সসীম দশমিক ভগ্নাংশ এবং অঙ্ক সংখ্যা অসীম হলে, এদেরকে অসীম দশমিক ভগ্নাংশ বলে। 

বাস্তব সংখ্যা (Real Number) : সকল মূলদ সংখ্যা
এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলা হয়। যেমন: ০, +-১...

ধনাত্মক সংখ্যা (Positive Number) : শূন্য অপেক্ষা বড় সকল বাস্তব সংখ্যাকে ধনাত্মক সংখ্যা বলা হয়। যেমন: 1, 2, 1÷2, 3÷2, √2, 0.415, 0.6..2, 4.120345061, ইত্যাদি ধনাত্মক সংখ্যা।

ঋনাত্নক সংখ্যা ( Negative number) শূন্য
অপেক্ষা ছোট সকল বাস্তব সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা
বলা হয়। যেমন: -1,- 2, - 1÷2, - 3÷2, -2, -0.415, -0.6..2, -
4.120345061 ইত্যাদি ঋণাত্মক সংখ্যা।

অঋণাত্মক সংখ্যা (Non-negative Number) : শূন্যসহ সকল ধনাত্মক সংখ্যাকে অঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়।যেমনঃ 0, 3, 1:2, 0.612, 1.3, 2.120345........ইত্যাদি অঋণাত্মক সংখ্যা।

বাস্তব সংখ্যার শ্রেনিবিন্যাস

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন ॥ ১ ॥ প্রমাণ কর যে, (ক) √5 (খ) √7 (গ) √10 প্রত্যেকে অমূলদ সংখ্যা


সমাধান :

() এখানে,

22=4 বা,32 = 9; এবং (√5)2 = 5

সুতরাং,  5  এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 3 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, 5  পূর্ণসংখ্যা নয়।
তাহলে, 5 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি 5 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
মনে করি, 5=p/q [ যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q>1]
বা, 5=p2/q2 [বর্গ করে]
বা, 5q=p2/q [উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে]
স্পষ্টতঃ 5q পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p2/q পূর্ণসংখ্যা নয়; কারন p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং  q>1.
তাহলে, 5qp2/q.
বা, 5p2/q2
বা, 5p/q
5 একটি অমূলদ সংখ্যা।

(খ) 7  

আমরা জানি,
1<7<9
বা, √1<√7<√9
বা, 1<√7<3
সুতরাং,  7 এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 3 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, 7 পূর্ণসংখ্যা নয়।
তাহলে, 7 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি 5 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
মনে করি, 7=p/q [ যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q>1]
বা, 7=p2/q2 [বর্গ করে]
বা, 7q=p2/q [উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে]
স্পষ্টতঃ 7q পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p2/q পূর্ণসংখ্যা নয়; কারন p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং  q>1.
তাহলে, 7qp2/q.
বা, 7p2/q2
বা, 7p/q
7 একটি অমূলদ সংখ্যা।

(গ) 10

আমরা জানি,
1<10<16
বা, √1<√10<√16
বা, 1<√10<4
সুতরাং,  10 এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 4 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, 10 পূর্ণসংখ্যা নয়।
তাহলে, 10 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি 10 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
মনে করি, 10=p/q [ যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q>1]
বা, 7=p2/q2 [বর্গ করে]
বা, 10q=p2/q [উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে]
স্পষ্টতঃ 10q পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p2/q পূর্ণসংখ্যা নয়; কারন p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং  q>1.
তাহলে, 10qp2/q.
বা, 10p2/q2
বা, 10p/q
10 একটি অমূলদ সংখ্যা।

১০.

ক) 0.31 এবং 0.12 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,
একটি সংখ্যা a=0.301001000100001……………..
এবং অপর সংখ্যা b=0.302002000200002……….
স্পষ্টতঃ a ও b উভয়ই দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয় 0.31 অপেক্ষা ছোট এবং 0.12 অপেক্ষা বড়।
অর্থাৎ, 0.31>0.3010010001………>0.12
এবং, 0.31>0.3020020002………..>0.12
আবার, a ও b কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।
a ও b, 0.31 এবং 0.12 এর মাঝখানে অবস্থিত।
∴ a ও b দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা।

খ) 1/√2 এবং √2 এর মধ্যে একটি মূলদ ও একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে,
1/√2=0.707106
√2=1.4142
∴ 0.707106 ও 1.4142 এর মাঝখানে একটি মূলদ সংখ্যা a=0.70717071
∴ 0.707106 ও 1.4142 এর মাঝখানে একটি মূলদ সংখ্যা b=1.4141010010001……

১১.

ক) প্রমাণ কর যে, যেকোন বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।

সমাধানঃ

মনে করি, একটি বিজোড় সংখ্যা (2a-1)
∴ (2a-1)2
=(2a)2-2.2a.1+12
=4a2- 4a+1
=4a(a-1)+1
আমরা জানি,
যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে জোড় সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফলও জোড় সংখ্যা হয়।
∴ 4a(a-1) একটি জোড় সংখ্যা [4 একটি জোড় সংখ্যা]
তাহলে, 4a(a-1)+1 একটি বিজোড় সংখ্যা।
∴ যেকোন বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।

খ) প্রমাণ কর যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল (আট) দ্বারা বিভাজ্য।

সমাধানঃ

মনে করি, দুইটি ক্রমিক সংখ্যা 2a ও 2a+2
তাহলে, 2a(2a+2)
 =4a2+4a
=4a(a+1)
এখানে, a ও (a+1) দুইটি ক্রমিক সংখ্যা, সুতরাং এদের যে কোনো একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে।
সুতরাং, a(a+1), 2 দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, 4a(a+1), 24=8 দ্বারা বিভাজ্য।



পুরো অধ্যায় এর পিডিএফ দেখে নিন।


এই পোস্টটি পরিচিতদের সাথে শেয়ার করুন

পূর্বের পোস্ট দেখুন পরবর্তী পোস্ট দেখুন
এই পোস্টে এখনো কেউ মন্তব্য করে নি
মন্তব্য করতে এখানে ক্লিক করুন

অর্ডিনারি আইটির নীতিমালা মেনে কমেন্ট করুন। প্রতিটি কমেন্ট রিভিউ করা হয়।

comment url